hvernig á að finna vektor sem er réttréttur við tvo vektora


svara 1:

Notaðu skurðpunktinn á tveimur vektorunum og tveimur öðrum punktum á vektorunum til að skrifa niður jöfnuna á planinu sem inniheldur vektorana. Þess vegna skrifaðu niður jöfnu venjulegs við planið. Stöðluðu hið síðarnefnda til að fá nauðsynlegan einingarvigur.

Láttu til dæmis vektorana tvo vera

v = i + j + 2k, og w = 2i - j + k

ef punkturinn (1,0,1) liggur á báðum vektorunum, þá liggur punkturinn (2,1,3) á v og punkturinn (3, -1,2) liggur á w

láttu þriggja punkta (1,0,1), (2,1,3) og (3, -1,2) liggja á planinu p,

ax + með + cz = k

að skipta út þremur punktum í ofangreindri jöfnu og leysa jöfnurnar sem myndast samtímis, hægt að fá gildi fyrir a, b og c hvað varðar k, þannig fæst eftirfarandi jöfnu fyrir planið.

x + y - z = 0

eðlilegt við planið er vigurinn N = i + j - k

og einingarvigurinn er n = (i + j - k) / sqrt (3)

til að athuga nota krossafurðina (i + j + 2k) x (2i - j + k) = 3i + 3j - 3k. Þetta er 3N, því n = (3i + 3j - 3k) / sqrt (27), sama og áður.


svara 2:

Látum vektorana vera \ hat {i} + b \ hat {j} + c \ hat {k} og '\ hat {i} + b' \ hat {j} + k '\ hat {k}. Láttu vigurinn sem er hornréttur á tveimur vektorunum vera x \ hat {i} + y \ hat {j} + z \ hat {k}. Við höfum strax tvær jöfnur ax + með + cz = 0 og a'x + b'y + c'z = 0 fengnar með réttstöðu. Miðað við x \ neq 0, deilum við jöfnum með x til að fá + b \ frac {y} {x} + c \ frac {z} {x} = 0, a '+ b' \ frac {y} {x } + c '\ frac {z} {x} = 0. Þeir eru leystir til að gefa \ frac {y} {x} = \ frac {ac'-a'c} {b'c-bc '}, \ frac {z} {x} = \ frac {a'b-ab '} {b'c-bc'}. x er hægt að gefa handahófskennt gildi. Ef x er valið að vera b'c-bc ', þá er y = ac'-a'c og z = a'b-ab'. Þannig er vigur hornréttur á gefnu vektorana (b'c-bc ') \ hat {i} + (ac'-a'c) \ hat {j} + (a'b-ab') \ hat {k} . Stærð þess er \ sqrt {(b'c-bc ') ^ {2} + (ac'-a'c) ^ {2} + (a'b-ab') ^ {2}}. Svo einingarveigur sem er hornréttur á tveimur vektorum er \ frac {(b'c-bc ') \ hat {i} + (ac'-a'c) \ hat {j} + (a'b-ab') \ hattur {k}} {\ sqrt {(b'c-bc ') ^ {2} + (ac'-a'c) ^ {2} + (a'b-ab') ^ {2}}}.


svara 3:

Finndu gatnamót ortho viðbótar tveggja vigra, segjum v, w: v ^ {\ perp} \ cap w ^ {\ perp}, þar sem z ^ {\ perp} er réttrétta viðbót z.

EDIT: Að öðrum kosti, veldu grunn fyrir vektorrýmið þitt og notaðu Gram-Schmidt á það. Þetta mun gefa þér þrjá parrétta sveigjuferla, sem eru jafnvel sterkari en þú vildir.

EDIT 2: Þú getur líka fundið para-óháða vigra með því að nota ortho-viðbót hverrar vigur v sem gefur þér {v, w} hornrétt á hvort annað. Finndu síðan z í ortho viðbótinni við {v, w}. Þá eru {v, w, z} tvístætt - hornrétt og svo línulega óháð.


svara 4:

Bara til að bjóða upp á aðferð sem er frábrugðin hinum:

Byrjaðu með handahófi öðrum vektor. Almennt mun það ekki vera línulega óháð þeim tveimur vigurum sem þú hefur; ef það er, verður þú að endurræsa (ég kem aftur að því).

Haltu áfram að beita

Gram – Schmidt ferli

(og vertu viss um að tveir vektorarnir sem þú byrjaðir með séu fyrstu tveir þínir). Þriðji vigurinn verður hornréttur við hina tvo og sem hluti af því ferli staðlarðu hann.

Ef þriðji vektorinn þinn er núll, þá var upphaflegi vektorinn þinn línulega háður hinum tveimur. Gerðu það sama aftur en giska á annan handahófsvigur. Ef þú ert að vinna í meira en 2d ætti það örugglega ekki að gerast (og jafnvel meira örugglega ætti ekki að gerast í annað skipti).


svara 5:

A2A:

Í þrívídd; Nefndu breytur fyrir íhluta vigur. Fáðu 2 línulegar jöfnur með því að stilla punktafurð sína með hverri tilteknu vektori á núll. Leysið að tjá 2 af íhlutunum sem aðgerðir þess sem eftir er. Nú skaltu leysa það sem eftir er til að fá einingalengd.

Í hærri víddum: Það er vandasamara vegna þess að það eru fleiri en eitt svar. Þú getur byrjað á því að búa til einhvern vigur sem er ekki línuleg samsetning þeirra. (Það er venjulega hægt að gera með skoðun; en ef það er örvæntingarfullt, sýnið fram á vanhæfni til að leysa 2 samtímis jöfnurnar.) Notaðu nú punktafurðina aftur, reiknaðu þætti vigur þíns sem vísar í átt að einum af þeim sem gefnir eru og dragðu frá það frá því. Gerðu nú það sama með hinum tiltekna vektorinum. Normaliseraðu nú lengd þess sem eftir er.


svara 6: