hvernig á að finna vektor sem sker punkt


svara 1:

Hvernig finn ég gatnamót þrívíddarplanar og beinnar línu?

A2A *

Vigurar eru gagnlegir til að leysa rúmfræðileg vandamál. Við skulum íhuga vandamálið við að finna skurðpunkt línu við plan í rýminu, eins og á mynd.

Lítum á línu L sem er skilgreind með punktum T (gefin) og P (sem við leitum að) og plan B sem inniheldur punktana P og Q.

Við gætum skilgreint línuna með parametrískum hætti með \ mathbf {p} = \ mathbf {t} + \ alpha \ mathbf {v} þar sem \ mathbf {p} og \ mathbf {t} eru staðsetningarvektar punkta P og T og \ mathbf {v} er stefnuvigur línunnar. Sérhver raungildi fyrir breytu \ alfa skilgreinir eitt stig yfir línuna. Vigur \ mathbf {b} táknar hvaða punkt sem er í plani B, skilgreinir plan B og er hornrétt á því plani. Þess vegna, fyrir hvaða vektor sem er, svo sem \ mathbf {u} í planinu, punktafurðin \ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {u} eða \ mathbf {b} \ cdot (\ mathbf {q} - \ mathbf {p }) er jafnt við núll; svo, í stað skilgreiningar á \ mathbf {p}:

\ mathbf {b} \ cdot (\ mathbf {q} - (\ mathbf {t} + \ alpha \ mathbf {v})) = 0, að leysa fyrir \ alpha gefur \ alpha = \ frac {\ mathbf {b} · (\ mathbf {q} - \ mathbf {t})} {\ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {v}} og kemur í stað skilgreiningar á \ mathbf {p}:

\ mathbf {p} = \ mathbf {t} + \ frac {\ mathbf {b} \ cdot (\ mathbf {q} - \ mathbf {t})} {\ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {v}} \ mathbf {v}

Þetta er lausnin á gatnamótum línunnar L við planið B.

TALDÆMI

Reiknið gatnamót línunnar L við planið B eins og á myndinni.

Látum línuna L vera skilgreindar með vektorinum

v = v4 (0, 2, -3,1)

beitt við punktinn T

t = v4 (0,0,1,2)

Gerðu einnig ráð fyrir að planið sé skilgreint með vigrinum b, hornrétt á planið,

b = v4 (0,5, -10, -5)

og punkturinn Q í planinu, en staða hans er skilgreind með vektorinum

q = v4 (0,2, -1, -1)

Síðan er skurðpunktur línunnar L við planið B reiknaður tölulega með leiðbeiningunni:

p = t + (b * (qt)). s / (b * v) .s * v

hver niðurstaða er

= p = v4 (0, 2.5714, -2.8571, 3.2857)

Í fyrri leiðbeiningunni skilar „punktur (punktar)“ v4 með aðeins stigstærð í þætti v4.


svara 2:

Svarið við þessu getur verið mismunandi eftir formi jöfnna línunnar þinnar.

Nokkur dæmi:

x = 3 + 4t

y = 2 + t

z = 5 - 2t

Eða

(x - 1) / 4 = (y + 2) / 7 = (z - 2) / 3

Eða

(2, 5, 6) + t <1, 3, 5>

...

Auðveldasta leiðin er að breyta línunni þinni í parametrískt form (efsta formið hér að ofan).

Svo fyrir annað dæmið myndirðu fara frá

(x - 1) / 4 = (y + 2) / 7 = (z - 2) / 3

til

(x - 1) / 4 = t

(y + 2) / 7 = t

(z - 2) / 3 = t

x - 1 = 4t → x = 4t + 1

y + 2 = 7t → y = 7t - 2

z - 2 = 3t → z = 3t + 2

Fyrir þriðja dæmið myndirðu fara frá

(2, 5, 6) + t <1, 3, 5>

til

x = 2 + t

y = 5 + 3t

z = 6 + 5t

...

Þegar jöfnurnar þínar eru komnar á parametrískt form eru tvö skref:

Skref 1) - Tengdu saman jöfnur þínar í jöfnuna á planinu og leysa fyrir t

Dæmi:

x = 2 + t

y = 5 + 3t

z = 6 + 5t

Flugvél: 3x + 4y - 2z = 7

Að tengja:

3 (2 + t) + 4 (5 + 3t) - 2 (6 + 5t) = 7

6 + 3t + 20 + 12t - 12 - 10t = 7

34 + 5t = 7

5t = -27

t = -27/5

Skref 2) - Tengdu gildi parametric breytu (t í þessu tilfelli) í jöfnu línu, til að fá hnit skurðpunkta

x = 2 + t = 2 + -27/5 = -17/5

y = 5 + 3t = 5 + 3 (-27/5) = -56/5

z = 6 + 5t = 6 + 5 (-27/5) = -21

Lokapunktur: (-17/5, -56/5, -21)

...

Vona að þetta hjálpi.


svara 3:

Almenn skref til að fylgja:

  1. úr jöfnum línunnar, reiknið x, y, z sem fall af breytu m.
  2. Skiptu um x (m), y (m) og z (m) í jöfnu 3D plani
  3. frá skrefi 2 reiknaðu gildi m
  4. Skiptu um gildi m í jöfnum línunnar til að ákvarða hnit skurðpunktsins