hvernig á að finna hnitveigur


svara 1:

Ég er viss um að þú þekkir líklega hugmyndina um vigurrými, vigur og grunn í ljósi þess að þú ert að spyrja þessa spurningar.

Látum V vera vigurrými. Segjum sem svo að V hafi grunn \ beta = \ {v_1, ..., v_n \} (hér erum við aðeins að fást við endanlegar víddar vektorar). Eins og þú veist líklega er hægt að skrifa hverja vigur v \ í V sem línulega samsetningu grunnvektanna. Það er,

v = \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ na_iv_i

fyrir (einstaka) fasta a_1, \ punkta, a_n \ í \ mathbb {R}. Vitandi þetta getum við skilgreint hnitaferjur. Hnitveigur v miðað við \ beta er gefinn af

[v] _ {\ beta} = \ byrja {pmatrix} a_1 \\\ vdots \\ a_n \ end {pmatrix}

Ef V hefur annan grunn \ beta 'getum við á sama hátt skilgreint hnitveigur v miðað við \ beta' sem er táknaður [v] _ {\ beta '}. Við höfum nú tvo vigra sem lýsa handahófskenndum vektori með hliðsjón af tveimur mismunandi grunnum. Ef það væri leið til að umbreyta einum hnitaferju í annan, þá myndum við eiga auðveldan hátt til að vita hvernig hverri vigur er lýst með grundvallarbreytingu. Sem betur fer, þar sem þetta er línuleg algebra, höfum við leið til að lýsa þessari umbreytingu.

Þegar við erum að kanna línulega algebru er það rétt (og rétt) að gera ráð fyrir að grunnbreytingar séu línulegar umbreytingar. Einföld leið til að lýsa línulegum umbreytingum er með margföldun fylkis. Látum P _ {\ beta \ til \ beta '} vera fylkið sem lýsir umbreytingu úr \ beta í \ beta'. Við köllum þetta umskiptifylkið frá \ beta til \ beta '. Síðan, samkvæmt skilgreiningu, höfum við það

[v] _ {\ beta '} = P _ {\ beta \ til \ beta'} [v] _ {\ beta}

Athugaðu að [v] _ {\ beta}, [v] _ {\ beta '} \ í \ mathbb {R} ^ n, svo að þessi staðhæfing sé skynsamleg, P _ {\ beta \ til \ beta'} \ í M_ {n, n} (\ mathbb {R}). Það er hægt að sýna fram á það

P _ {\ beta \ to \ beta '} = \ byrja {pmatrix} [v_1] _ {\ beta'} & \ cdots & [v_n] _ {\ beta '} \ end {pmatrix}

Með öðrum orðum, ef þú getur fundið hvernig á að lýsa hverri grunnveigur í \ beta í grunni \ beta ', þá geturðu sett þá alla í fylki til að finna hvar einhver vigur fer í \ beta'.