hvernig á að finna mikilvæga punkta í mismunadreifikerfi


svara 1:

Almenna aðferðin er

  1. Gakktu úr skugga um að þú hafir sjálfstæða jöfnu
  2. Breyttu því í fyrstu röð jöfnu x '= f (x) ef það er ekki þegar
  3. Finndu föstu punktana, sem eru rætur f
  4. Finndu Jacobian df / dx við hvern fastan punkt
  5. Ef eigingildi df / dx við einhvern fastan punkt x ^ * eru öll neikvæð, þá er x ^ * stöðugur; annars er það óstöðugt

Ef eitthvað af því var ekki skynsamlegt eða þú vilt fá frekari upplýsingar, lestu þá áfram.

------------------------

Í fyrsta lagi er mikilvægt að hafa í huga að hvers konar venjuleg mismunadreifa jafngildir einhverri venjulegri mismunadreifju. Ég mun taka þessu eins og gefið er, en þú getur lært meira um það hér:

Umbreyta NDE röð ODE í kerfi af n fyrsta röð ODE

Vegna þessa munum við líta á almennt ODE sem form x '(t) = f (t, x (t)), fyrir x \ í \ mathbb {R} ^ n. Ef x 'hefur einhverja óbeina (óstöðuga) ósjálfstæði á t, þá verða almennt engir fastir punktar, þannig að við getum aðeins íhugað sjálfstæðar jöfnur x' (t) = f (x (t)), eða stuttlega x '= f (x).

Fastur punktur x ^ * er sá þar sem f (x ^ *) = 0, þar sem það gefur í skyn að x breytist ekki lengur á því augnabliki sem það nær x ^ *, og þar sem breytingin á x er aðeins háð x sjálfu, getur það ekki hækka eða lækka þegar það er orðið 0.

Þá er stöðugur fastur punktur þar sem x-gildi í nágrenninu hafa tilhneigingu til að hreyfast í átt að honum. Formlega krefjumst við þess að til sé kúla af einhverjum núllradíus í kringum x ^ * þannig að öll upphafsgildi sem valin eru úr þessari kúlu myndi lausn á ODE með x \ til x ^ * sem t \ til \ infty. Óformlega getur þú hugsað um boltann eins og atburðarás svarthols: allt inni er fastur þarna og sogast í átt að miðjunni, en hlutirnir úti geta samt hneykslast á því eða ekki.

Til að athuga þetta verðum við að athuga að þegar x hreyfist nálægt x ^ *, þá breytist x breytingin inn á við x ^ *. Breytingin á x er x 'og við viljum skoða hvernig hún breytist með tilliti til breytinga á x, þannig að við þurfum að finna \ frac {\ text dx'} {\ text dx}. Þar sem x '= f (x) getum við notað \ frac {\ text df} {\ text dx} í staðinn, Jacobian af f, við x ^ *.

Þegar eigingildi \ frac {\ text df} {\ text dx} eru öll neikvæð, þá vitum við að að færa x í burtu frá x ^ * í hvaða átt sem er mun leiða til þess að x 'vísar inn á við í x ^ *, og þannig getum við búast við að það muni hafa tilhneigingu til x ^ * þegar t eykst. Ef eitthvert eigingildi er ekki neikvætt, þá færist x með stefnunni á samsvarandi eiginvector til þess að x '= 0 eða x' vísar frá x ^ *, sem bæði þýðir að x ^ * er ekki stöðugur.


svara 2:

Stöðugleiki myndi ráðast af því hvort ástand kerfisins myndi hafa tilhneigingu til að snúa aftur að þeim mikilvæga punkti í ástandsrými sínu eða víkja frá því þegar það er truflað örlítið frá þeim mikilvæga punkti.

Ímyndaðu þér litla bolta sem situr uppi á hæð. Ef boltinn er settur fullkomlega í hámarki, mikilvægi punkturinn, mun hann ekki hreyfast, en það mun það gerast, jafnvel þótt hann sé óendanlega órólegur.

Ég mun nota grunndæmi um ODE fyrir þetta. ODE mun módela lárétta stöðu agna sem situr á hugsanlegri hæð.

Lárétti krafturinn á ögn sem upplifir þyngdarafl neðan frá í halla halla \ þeta er

F_x = -mg sin (\ theta)

Það er jákvæð halla ýtir til vinstri og neikvæð halla ýtir til hægri. Halli fleygboga y = -kx ^ 2 (eða dalur y = kx ^ 2) er reiknaður með því að taka afleiðuna, þannig að við höfum:

D_x -kx ^ 2 = -2kx

Til að breyta þessu í horn notum við arctan, svona

\ theta = arctan \ {- 2kx \}

Þannig verður krafturinn F_x = mg sin \ {arctan \ {2kx \} \}

Hins vegar getum við einfaldað hlutina með því að nota Taylor Series seríuna af sin \ {arctan \ {2kx \} \} með miðju um x = 0

sin \ {arctan \ {2kx \} \} = 2kx + O (x ^ 3)

Við vitum af lögum Newtons að F = ma, svo

mx '' (t) \ u.þ.b. 2mgkx

** Restin af greiningunni mun beinast að hverfinu x = 0.

Þar sem krafturinn á ögninni er í réttu hlutfalli við fjarlægðina frá láréttri stöðu toppsins, x = 0

Ef við stillum RHS á 0 komumst við að því að mikilvægi punkturinn er x = 0 en er hann stöðugur?

Krafturinn á ögninni eftir smá tilfærslu h> 0 til hægri við hæðina er

mx "(t) = 2mgkh> 0

Þetta þýðir að agnið mun byrja að flýta til hægri og frá þeim tímapunkti upplifa sífellt meiri hröðun.

Ef við trufluðum það til vinstri um sömu upphæð fáum við það

mx "(t) = -2mgkh <0

Svo það flýtir til vinstri þegar það hreyfist aðeins til vinstri frá tindinum.

Þessi mikilvægi punktur er því óstöðugur. Einnig kallað heimild.

Ríkisrými kerfisins víkur frá mikilvægum punktum við smá frávik frá þeim tímapunkti.

Lítum á dæmi um dal.

mx "(t) = -2mgkx

Nota sömu einfaldanir og áður en með öfugum brekkum.

Að taka lítið skref h til hægri gefur

mx "(t) = -2mgkh <0

Svo hefur agnið tilhneigingu til vinstri eftir að hún hefur verið færð til hægri. Það upplifir engan kraft á mikilvægum tímapunkti og þegar hann er færður til vinstri af 0 höfum við það

mx "(t) = -2mgk (-h) = 2mgkh> 0

Sem þýðir að allt frávik til vinstri leiðir til þess að kraftur veldur hröðun til hægri og skilar ögninni alltaf aftur á sinn mikilvæga punkt þar sem hún fær ekki ýta í neina átt.

Þetta er stöðugur mikilvægur punktur í ástandsrými kerfisins. Einnig kallað vaskur.

Ef þú lendir í aðstæðum þar sem þú hefur tilhneigingu frá annarri hliðinni á mikilvægum punkti frá og á hinum endanum, þá er mikilvægi punkturinn talinn hálf stöðugur. Þetta er þó ekki talið stöðugt.

Þegar verið er að fást við kerfi ODE eins og

\ vec X '= A \ vec X

Þú getur ákvarðað stöðugleikasvæðin í ríkisrýminu með því að merkja Eigengildi fylkisins A.

Meðfram stefnu eiginvigans í ástandsrýminu sem samsvarar neikvætt eigingildi A, verður þú með hreinan vask sem er stöðugur. Allir punktar í hverfinu við þá línu sem ákvarðaðir eru af þeim eiginvector verða stöðugir.

Ef um jákvætt eigingildi er að ræða verður samsvarandi eiginvigur hreinn uppspretta og þar með óstöðugur.

Þegar um er að ræða ímyndaðar eigingildi verður það hvorki uppspretta né vaskur, heldur svæði þar sem ríkin hafa tilhneigingu til að snúast um þann eiginvector.

Fyrir flókin eigingildi verður bæði snúningshluti og vaskur / uppspretta hluti sem samsvarar raunverulegum hluta eins og áður.

Ég vona að þetta hjálpi!


svara 3:

Í grundvallaratriðum skaltu teikna línurit yfir afleiðuna á móti breytunni, þ.e. samsæri f '(x) og x, og íhuga síðan í hverjum hluta grafsins hvort fallið er að aukast (jákvæð afleiða) eða minnkandi (neikvæð afleiða). ef afleiðan er jákvæð til vinstri við einhvern x skurðpunkt, og neikvæð til hægri við þennan skurðpunkt, þá er þessi mikilvægi punktur stöðugur (þar sem lítil truflun fjarri þessum stöðuga punkti mun að lokum leiða til þess að fallið eykst eða minnkar aftur til stöðugt x gildi.

Sjáðu hvernig örvarnar báðum megin við skerið við x = 2 punkt inn á við, sem þýðir að stöðugleikaleiðrétting er til staðar ef þú ert færður aðeins frá þessari stöðugu stöðu.

Með sömu rökfræði eru hinir 2 hleranir í þessu dæmi óstöðugar þar sem afleiddu örvarnar vísa út á við (-ve halli til vinstri, + ve halli til hægri) sem þýðir að jafnvel lítil truflun frá þessum óstöðugu punktum mun leiða til áframhaldandi brottför frá þessum óstöðugu stigum.


svara 4:

Þú gætir átt við aðdráttarafl:

Stöðugleiki jafnvægis mismunadreifis