hvernig á að finna jöfnu flugvélar með 3 stig


svara 1:

Plan er skilgreint með fjórum tölum a, b, c, d sem fullnægja ax + með + cz = d fyrir alla punkta (x, y, z) á planinu.

Ef punktarnir þrír eru (x1, y1, z1), (x2, y2, z2), (x3, y3, z3) ættu þeir allir þrír að fullnægja ofangreindri jöfnu. Athugið að við höfum þrjár jöfnur á fjórum breytum, svo ein þeirra er okkur frjálst að ákvarða.

Að leysa jöfnurnar þrjár sem af þeim hljóta fyrir a, b, c skilar

a = \ frac {d} {\ Delta} \ vinstri [y_ {1} \ vinstri (z_ {3} -z_ {2} \ hægri) + y_ {2} \ vinstri (z_ {1} -z_ {3} \ right) + y_ {3} \ left (z_ {2} -z_ {1} \ right) \ right]

b = \ frac {d} {\ Delta} \ vinstri [x_ {1} \ vinstri (z_ {2} -z_ {3} \ hægri) + x_ {2} \ vinstri (z_ {2} -z_ {1} \ right) + x_ {3} \ left (z_ {1} -z_ {2} \ right) \ right]

c = \ frac {d} {\ Delta} \ vinstri [x_ {1} \ vinstri (y_ {2} -y_ {3} \ hægri) + x_ {2} \ vinstri (y_ {3} -y_ {1} \ right) + x_ {3} \ left (y_ {1} -y_ {2} \ right) \ right],

með

\ Delta = x_ {1} \ vinstri (y_ {3} z_ {2} -y_ {2} z_ {3} \ hægri) + x_ {2} \ vinstri (y_ {1} z_ {3} -y_ {3 } z_ {1} \ right) + x_ {3} \ left (y_ {2} z_ {2} -y_ {1} z_ {2} \ right).

Athugaðu þó að þetta virkar aðeins ef d \ neq0. Svo hvernig getum við sagt fyrirfram hvort d \ neq0 eða ekki? Það skemmtilega er að við þurfum ekki á því að halda. Eins og við sögðum áður getum við stillt hvaða gildi við viljum fyrir d, svo við skulum velja d = \ Delta. Undir þessu vali komumst við að því að planið er skilgreint með jöfnunni

\ left [y_ {1} \ left (z_ {3} -z_ {2} \ right) + y_ {2} \ left (z_ {1} -z_ {3} \ right) + y_ {3} \ left ( z_ {2} -z_ {1} \ right) \ right] x + \ left [x_ {1} \ left (z_ {2} -z_ {3} \ right) + x_ {2} \ left (z_ {2} -z_ {1} \ right) + x_ {3} \ left (z_ {1} -z_ {2} \ right) \ right] y + \ left [x_ {1} \ left (y_ {2} -y_ {3 } \ right) + x_ {2} \ left (y_ {3} -y_ {1} \ right) + x_ {3} \ left (y_ {1} -y_ {2} \ right) \ right] z = \ Delta

sem hefur enga sérstöðu.


svara 2:

Frá Wikipedia:

Að lýsa flugvél í gegnum þrjá punkta

Látum p1 = (x1, y1, z1), p2 = (x2, y2, z2) og p3 = (x3, y3, z3) vera punktar sem ekki eru línulegir.

Aðferð 1

Flugvélin sem liggur í gegnum

bls

1,

bls

2, og

bls

3 er hægt að lýsa sem mengi allra punkta (x, y, z) sem fullnægja eftirfarandi

ráðandi

jöfnur:

{\ displaystyle {\ begin {vmatrix} x-x_ {1} & y-y_ {1} & z-z_ {1} \\ x_ {2} -x_ {1} & y_ {2} -y_ {1} & z_ {2 } -z_ {1} \\ x_ {3} -x_ {1} & y_ {3} -y_ {1} & z_ {3} -z_ {1} \ end {vmatrix}} = {\ byrja {vmatrix} x- x_ {1} & y-y_ {1} & z-z_ {1} \\ x-x_ {2} & y-y_ {2} & z-z_ {2} \\ x-x_ {3} & y-y_ {3} & z-z_ {3} \ end {vmatrix}} = 0.}

Aðferð 2

Til að lýsa planinu með jöfnu formsins {\ displaystyle ax + með + cz + d = 0} skaltu leysa eftirfarandi jöfnukerfi:

{\ displaystyle \, ax_ {1} + by_ {1} + cz_ {1} + d = 0}

{\ displaystyle \, ax_ {2} + by_ {2} + cz_ {2} + d = 0}

{\ displaystyle \, ax_ {3} + by_ {3} + cz_ {3} + d = 0.}

Þetta kerfi er hægt að leysa með

Regla Cramer

og undirstöðu fylkisaðgerð. Leyfðu

{\ displaystyle D = {\ begin {vmatrix} x_ {1} & y_ {1} & z_ {1} \\ x_ {2} & y_ {2} & z_ {2} \\ x_ {3} & y_ {3} & z_ {3 } \ end {vmatrix}}}.

Ef D er ekki núll (svo fyrir flugvélar sem eru ekki í gegnum upphafið) er hægt að reikna gildin fyrir a, b og c á eftirfarandi hátt:

{\ displaystyle a = {\ frac {-d} {D}} {\ byrja {vmatrix} 1 & y_ {1} & z_ {1} \\ 1 & y_ {2} & z_ {2} \\ 1 & y_ {3} & z_ {3} \ end {vmatrix}}}

{\ displaystyle b = {\ frac {-d} {D}} {\ byrja {vmatrix} x_ {1} & 1 & z_ {1} \\ x_ {2} & 1 & z_ {2} \\ x_ {3} & 1 & z_ {3} \ end {vmatrix}}}

{\ displaystyle c = {\ frac {-d} {D}} {\ byrja {vmatrix} x_ {1} & y_ {1} & 1 \\ x_ {2} & y_ {2} & 1 \\ x_ {3} & y_ { 3} & 1 \ end {vmatrix}}.}

Þessar jöfnur eru parametric í d. Ef d er stillt jafnt og einhverri númer sem er ekki núll og í staðinn fyrir þessar jöfnur verður eitt lausnasett.


svara 3:

Takk fyrir A2A

Hægt er að ákvarða plan P með punkti p í P og vigri v hornrétt á P.

Notaðu núna punktana þrjá (sem mismun á punktunum) til að smíða tvo vigra í planinu. Nú þegar þú ert með tvo vigra v_1, v_2 í P, finndu krossafurð þeirra v = v_1 \ sinnum v_2, sem er hornrétt á alla punkta í P; þá hefurðu punkt - veldu einhvern af þeim sem þér var gefinn - og vigur v hornrétt á P. Þetta gefur þér jöfnu plansins.


svara 4:

Ef þrír punktar eru (x1 y1 z1) (x2 y2 z2) (x3 y3 z3)

Og ef ax + með + cz + d = 0 er planið sem inniheldur punktana, þá fáum við

ax1 + by1 + cz1 + d = 0

ax2 + by2 + cz2 + d = 0

ax3 + by3 + cz3 + d = 0

Lausn fyrir abcd gefin af ákvörðunarvaldi,

a B C D

x1..y1 ... z1..1

x2..y2 ... z2..1

x3..y3 ... z3..1

= 0

Hlutfall a, b, c, d gefur ax + með + cz + d = 0


svara 5:

Jafna flugvélar í gegnum þrjá punkta.