hvernig á að finna öfgapunkta


svara 1:

Ég giska á að þú sért að vísa til staðbundinnar annarrar afleiðuprófs sem er beitt á x-gildi þar sem fyrsta afleiðan er jafn núll. Þegar ég kenndi benti ég alltaf á þennan veikleika þess prófs, þar sem það er hljótt um hvað gerist ef gildi seinni afleiðunnar er líka núll við það x-gildi.

Það eru margir möguleikar - of margir til að telja upp hér - en það veltur mikið á léninu í aðgerðinni. Ef aðgerðin er að minnsta kosti samfelld á lokuðu bili, verður aðgerðin að ná algjöru hámarki við eitthvert gildi x = a og algjört lágmark við eitthvað gildi x = b. Þetta á kannski ekki við, en hvernig á að höndla þetta er staðlað í reikningi I texta svo ég mun ekki endurtaka það hér.

Leiðin til þess að ég höndla þetta venjulega, þar sem lénið er ekki bara lokað bil, er að nota fyrstu afleiðuprófið. Það er, ef mögulegt er, prófa ég tákn fyrstu afleiðunnar við gildi nálægt og vinstra megin við x-gildið, og einnig hjá þeim sem eru nálægt og hægri við sagt x-gildi. Ef táknið breytist hefurðu tiltölulega öfga (sem kann að vera algjört eða ekki).

Reyndar nota ég þetta jafnvel í tilfellum þar sem önnur afleiðuprófið myndi virka.

Til dæmis, ef f (x) = x ^ 3 - 3x ^ 2, þá er f '(x) = 3x ^ 2 - 6x sem er stillt = 0.

Svo höfum við 3x (x-2) = 0. Þetta gefur x-gildi 0 og 2. Veldu, geðþótta, þessi x-gildi: 3 til hægri við 2, 1 til vinstri við 2 og hægri til 0 og -1 vinstra megin við 0. Taktu nú f '(3), f' (1) og f '(- 1). Við fáum f '(3) = 9, sem er jákvætt, þannig að f eykst við (2, óendanleikann); f '(1) = -3, sem er neikvætt, svo f minnkar á bilinu (0, 2); og f '(- 1) = 9, sem er jákvætt, svo f eykst á (-óendanleika, 0).

Jafnvel ef þú gerðir þetta aldrei geturðu séð feril hækka, lækka og hækka aftur. Svo við x = 0 höfum við f (0) = 0 hlutfallslegt hámarksgildi f (x) á (-inf, 2) og við x = 2 höfum við f (2) = -4 hlutfallslegt lágmarksgildi f (x) á (0, inf).

Standard Calculus I námskeið fjalla frekar um þetta efni svo ég muni ekki endurtaka það hér, þó ekki væri nema til að bjarga því að ég þarf að slá.


svara 2:

Til að finna öfgapunktana finnum við fyrst mikilvægu punktana með því að ákvarða punktana sem fyrsta afleiðan er jöfn núllinu fyrir. Þessir mikilvægu punktar geta verið hámarks eða lágmarks, en þá eru þeir öfgapunktar eða þeir geta verið beygjupunktar í því tilfelli eru þeir ekki öfgapunktar.

Til að ákvarða hámark eða lágmörk notum við venjulega annað afleiðuprófið. Við ákvarðum gildi annarrar afleiðu við öfgapunktinn. Ef gildi annarrar afleiðu er jákvætt, þá er þessi punktur staðbundið lágmark og ef gildi annarrar afleiðu er neikvætt, þá er sá punktur staðbundið hámark.

Hins vegar, ef önnur afleiðan á þeim tímapunkti er núll, þá mistakast önnur afleiðuprófið. Við getum ekki sagt hvort þessi mikilvægi punktur er staðbundið hámark eða staðbundið lágmark eða beygingarmark.

Í slíku tilviki ákvarðum við gildi aðgerðarinnar á punkti aðeins til hægri við mikilvæga punktinn sem og aðeins til vinstri við mikilvæga punktinn.

Ef gildi aðgerðarinnar á báðum þessum punktum er minna en gildi aðgerðarinnar á mikilvæga punktinum, þá er mikilvægi punkturinn staðbundið hámark.

Ef gildi virkninnar á báðum þessum punktum er hærra en gildi aðgerðarinnar á mikilvæga punktinum, þá er mikilvægi punkturinn staðbundið lágmark.

Ef gildi aðgerðarinnar á einum af þessum punktum er meira en gildi aðgerðarinnar á mikilvæga punktinum og gildi á öðrum punkti er minna en gildi aðgerðarinnar á mikilvæga punktinum, þá er mikilvægi punkturinn punktur af beygingu.

Lítum á fallið f (x) = x ^ 3.

f '(x) = 3x ^ 2 \ qquad \ Rightarrow \ qquad x = 0 er mikilvægur punktur.

f '' (x) = 6x \ qquad \ Rightarrow \ qquad f '' (0) = 0 og þar með mistekst annað afleiðuprófið.

f (0 + h) = h ^ 3> f (0) = 0 og f (0-h) = -h ^ 3

\ Rightarrow \ qquad x = 0 er beygjupunktur.

Hugleiddu nú fallið f (x) = x ^ 4.

f '(x) = 4x ^ 3 \ qquad \ Rightarrow \ qquad x = 0 er mikilvægur punktur.

f '' (x) = 12x ^ 2 \ qquad \ Rightarrow \ qquad f '' (0) = 0 og þar með mistekst annað afleiðuprófið.

f (0 + h) = h ^ 4> f (0) = 0 og f (0-h) = h ^ 4> f (0) = 0

\ Rightarrow \ qquad x = 0 er staðbundið lágmark.


svara 3:

ef 2. afleiðan er alltaf 0, þá verður aðgerðin að vera samfelld, aðgreinanleg og línuleg, sem þýðir að hún hefur engin extrema nema svæði sé tilgreint. Ef svæði er tilgreint munu lágmark og hámark (ef þau eru til) vera á mörkum svæðisins og eru einstök fyrir aðgerðir sem kortleggja R til R en ekki í hærri víddum