hvernig á að finna k í línulegum jöfnum


svara 1:

Setning Rouché – Capelli segir eftirfarandi:

fyrir jöfnukerfið:

\ mathbf {Axe} = \ mathbf {b} \ tag {1}

látum \ mathbf {A} vera fylki jöfnustuðla og [\ mathbf {A} | \ mathbf {b}], aukið fylki við kerfið (1).

Látum n = \ text {Dim} (\ mathbf {x}) vera fjölda breytna í (1).

Kerfið (1) hefur að minnsta kosti eina lausn ef \ text {rank} (\ mathbf {A}) = \ text {rank} ([\ mathbf {A} | \ mathbf {b}]). Ef n = \ text {rank} (A) er lausnin einstök, annars eru óendanlega margar lausnir.

Þannig að ef \ text {rank} (\ mathbf {A}) \ ne \ text {rank} ([\ mathbf {A} | \ mathbf {b}]) eru engar lausnir til, annars ef n = \ text {rank } (A), ein lausn er til og ef ekki eru óendanlega margar lausnir til.

Dæmið sem gefið er (í athugasemdum við færsluna) hefur eftirfarandi aukið fylki;

[\ mathbf {A} | \ mathbf {b}] = \ byrja {pmatrix} 1 & 1 & k + 4 & -1 \\ 2 & 1 & k + 8 & -6 \\ -3 & -3 & k ^ 2-4k-12 & k ^ 2 + k + 3 \ end {pmatrix}

Til að finna röð aukna fylkisins umbreytðu því (með grunnaðgerðarlínuaðgerðum frá fyrstu röðinni til hinna) í röð línuformsins (fyrsti dálkurinn hefur formið (1 \ 0 \ \ ldots \ 0) og telur fjölda sjálfstæðra línur í því fylkisformi fylki:

echelon form fylkið [\ mathbf {A} | \ mathbf {b}] er;

\ byrja {pmatrix} 1 & 1 & k + 4 & -1 \\ 0 & -1 & -k & -4 \\ 0 & 0 & k ^ 2-k & k ^ 2 + k \ end {pmatrix}

með því að nota röðina umbreytir r_2 \ í r_2-2r_1 og r_3 \ í r_3 + 3r_1.

Sömu aðgerðir geta umbreytt upprunalegu fylkinu \ mathbf {A} í echelon form fylkið;

\ byrja {pmatrix} 1 & 1 & k + 4 \\ 0 & -1 & -k \\ 0 & 0 & k ^ 2-k \ end {pmatrix}

Nú \ text {rank} ([\ mathbf {A} | \ mathbf {b}]) \ le 3. Staðajafnrétti gerist \ iff k = 0. Í þessu tilfelli, \ text {rank} (A) = 2 \ le 3 (fjöldi breytna - dálkar). Svo þegar k = 0 eru óendanlega margar lausnir. Hins vegar þegar k = 1, 3 = \ text {rank} ([\ mathbf {A} | \ mathbf {b}]) \ ne \ text {rank} (\ mathbf {A}) = 2. Svo þegar k = 1 eru engar lausnir. Þegar k \ ne 0,1, þá eru röðin jöfn og \ text {rank} (\ mathbf {A}) = 3, þannig að það er nákvæmlega ein einstök lausn.


svara 2:

Byrjaðu á því að skrifa út aukna fylkið

\ byrja {pmatrix} 1 & 1 & k + 4 & -1 \\ 2 & 1 & k + 8 & -6 \\ -3 & -3 & k ^ 2-4k-12 & k ^ 2 + k + 3 \ enda {pmatrix}

Framkvæmdu eftirfarandi röðaðgerðir ...

R_2 = R_2 + (- 2) R_1

R_3 = R_3 + 3R_1

\ byrja {pmatrix} 1 & 1 & k + 4 & -1 \\ 0 & -1 & -k & -4 \\ 0 & 0 & k ^ 2-k & k ^ 2 + k \ end {pmatrix}


Kerfið hefur einstaka lausn ef

k ^ 2-k \ neq 0 \, \ land \, k ^ 2 + k \ in \ R

\ felur í sér k (k-1) \ neq 0

\ felur í sér k = 0,1


Kerfið hefur enga lausn ef

k ^ 2-k = 0

\ felur í sér k (k-1) = 0

\ felur í sér k = 0,1

og k ^ 2 + k \ neq0

\ felur í sér k (k + 1) \ neq 0

\ felur í sér k \ neq 0, -1

Það er auðvelt að skilja að þegar við setjum k = 1 höfum við k ^ 2-k = 0 og k ^ 2 + k = 2 sem gefur okkur 0 = 2, sem þýðir að kerfið hefur enga lausn. Þetta er nákvæmlega það sem við krefjumst.

Kerfið hefur enga lausn fyrir \ boxed {k = 1}


Kerfið hefur óendanlega margar lausnir ef \ boxað {k = 0}, ég þarf ekki að athuga þetta þar sem það hefur þegar verið athugað meðan verið var að kanna fyrri forsendur.


Gjört!

Takk fyrir A2A


svara 3:

Ég geri ráð fyrir að k sé raunveruleg tala & upplýsingar um spurninguna sem aukið fylki fyrir línulegu jöfnukerfið. Fyrir k = 0 eru óendanlegar lausnir, k = 1, það eru engar lausnir & fyrir allar aðrar rauntölur nema 1 & 0, þá verða til einstakar lausnir. Þú getur auðveldlega sýnt það með Gauss-brotthvarfsferlinu. Sjáðu bara fyrstu og þriðju röðina. Ef eitthvað er að gera ættirðu að einbeita þér að þessum tveimur röðum.


svara 4:

Þegar þú ert með kerfi AX = Y og vilt fá fjölda lausna geturðu auðveldlega athugað með röð fylkisins.

Ef det A ≠ 0, þá er A hvolf, og eina lausnin er gefin með X = A ^ {- 1} Y, eða í þessu tilfelli auðveldara með Cramer formúlunum.

Ef detA = 0 hefurðu annað hvort engan óendanlegan fjölda lausna. Það er vigur span, vídd þess fer eftir röðun A, og þú getur fundið grunn lausna með Cramer formúlum.

Ég leyfði þér að ljúka við fylkið þitt, að reikna ákvarðana er leiðinlegt, en ekkert svo flókið.


svara 5:

2 + 2 er 4 mínus 1 það eru 3 HRAÐMÁL