hvernig á að finna ástandsnúmer fylkis


svara 1:

Innsæi, því stærri sem fjöldi fylkis M er, því næmari er það fyrir miklum truflunum (mismunur) í lausninni á Mx = y þegar jafnvel smábreytingar eru gerðar á y.

Til dæmis ef við tökum fylkið

M = \ byrja {pmatrix} 20 & 0 \\ 4 & 19 \ end {pmatrix}

þá lausn jöfnunnar

M \ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} 1 \\ 5 \ end {pmatrix}

er x = 0,05, y = 0,253. Lausnin á jöfnunni

M \ byrja {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix} = \ byrja {pmatrix} 0.9 \\ 5.1 \ end {pmatrix}

er x = 0,045, y = 0,259, svo það er ekki mikil breyting. Reyndar er ástandsnúmer M \ frac {21.6638} {17.5407} = 1.235.

Ef við tökum nú fylkið

M = \ byrja {pmatrix} 19 & 0 \\ 4 & 1 \ enda {pmatrix}

þá lausn jöfnunnar

M \ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} 1 \\ 5 \ end {pmatrix}

er x = 0,053, y = 4,789. Lausnin á jöfnunni

M \ byrja {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix} = \ byrja {pmatrix} 0.9 \\ 5.1 \ end {pmatrix}

er x = 0,047, y = 4,911, þannig að lausnirnar breyttust aðeins meira. Reyndar er ástandsnúmer þessa nýja M \ frac {19.4176} {0.9875} = 19.663.


svara 2:

Takk fyrir A2A. Jæja, það hefur skýra rúmfræðilega túlkun. Við gerum ráð fyrir að M sé ekki eintölu, annars er \ kappa (M) ekki skilgreind.

Lítum á A = M ^ {t} M. M er jákvætt ákveðið (samhverft) fylki. Einstaklingsgildi M eru rætur eigingilda A.

Ennfremur hefur A grunn af eðlilegum sveigju.

Rúmfræðilega skilgreinir jöfnan || Mx || ^ 2 = x ^ {t} Ax = 1 skilgreinir sporbaug með áttum ása sem gefnir eru af eiginvektum A.

Lengd ása er í öfugu hlutfalli við einstök gildi. Þess vegna gefur \ kappa (M) hámarkshlutfallið á milli þeirra.

Gerum nú ráð fyrir að við höfum línulegt jöfnukerfi Mx = b.

Margfaldast með M ^ {t} færðu Ax = M ^ {t} b, þ.e. x = A ^ {- 1} M ^ {t} b = A ^ {- 1} c, þar sem c = M ^ {t} b.

Gerðu ráð fyrir að þú velur c með || c || = 1 í átt að mismunandi ásum sporöskjulaga, það er eiginvektorar.

Þá verður c þynnt með hlutföllum sem eru í réttu hlutfalli við ásalengd sporöskjulaga. Sérstaklega, ef \ kappa (M) er stór þá mun stefnubreyting c hafa gífurleg áhrif á || x ||. Því innsæi, því hærra sem hlutfall er milli ása er næmari er lausnin við litlum truflunum á b.