hvernig á að finna mismunahlutfallið í broti


svara 1:

Brot, hlutfall, stuðull og skynsamlegur fjöldi vísar öll til nátengdra hugtaka og í sumum tilvikum þoka hugtökin ansi mikið, þar til þau skiptast á. Til að stríða nákvæmlega hver greinarmunurinn á broti og skynsamlegri tölu er, þarf til dæmis að skoða öfgakennd, óvenjuleg tilfelli.

Ég er núna á þriðju endurtekningu að segja „Við skulum byrja með ...“ og velja eitt af þessum hugtökum. Fyrstu tvö skiptin eyddi ég því þannig að það byrjaði ekki á réttum stað.

Í (óhlutbundinni) algebru hafa stærðfræðingar áhyggjur af því sem gerist með ýmsar stærðfræðibyggingar sem eru skilgreindar með ákveðnum reglum bætt við þær.

Við grunninn ertu með „mengi“ sem er safn af þáttum. Þeir gætu verið tölur, þeir gætu verið kettir, þeir gætu verið hvað sem þú vilt (með nokkrum tæknilegum takmörkunum sem við komumst ekki inn á hér). Leikmynd hefur mjög litla uppbyggingu, svo það er lítið sem hægt er að sanna um öll sett (en það sem hægt er að sanna er mjög öflugt).

Ef þú bætir við tengdri aðgerð, eins og viðbót eða margföldun, færðu „einmynd“. Náttúrulegar tölur með viðbót er einbreitt; svo eru náttúrulegar tölur með margföldun. Svo eru margliður með annað hvort viðbót eða margföldun. Svo eru snúningar og speglun teninga o.s.frv. Almennt, þegar þú notar „viðbót“ sem aðgerðina í einmynd (og skrifar a + b í stað ab), ertu að gefa í skyn að rekstraraðilinn sé kommutativ a + b = b + a. Notkun margföldunar sem einhliða aðgerð felur ekki í sér kommutativitet, en það leyfir það. Það er líka auðveldara að skrifa.

Ef þú ert með einmynd þar sem rekstraraðilinn hefur auðkenni (0 + a = a + 0 = a; 1a = a1 = a), og sérhver þáttur hefur andhverfu (a + (- a) = 0, (-a) + a = 0, aa ^ {- 1} = 1, a ^ {- 1} a = 1), þá ertu með hóp. Hópar eru mjög auðugur reitur, með dæmi um hópa allt frá heiltölum með viðbót, yfir í mynstur á Rubik's Cube, til djúpra samhverfa innan skammtafræðinnar. Tvær breiðar flokkanir hópa eru samskiptahópar (þar sem a + b = b + a fyrir alla þætti) og hópar sem ekki eru kommutífir (þar sem ab \ neq ba fyrir að minnsta kosti eitt par a, b. Samskiptahópar eru einnig kallaðir abelískir hópar.

Ef þú ert með abelískan hóp (með viðbót) og bætir við annarri aðgerð (margföldun) sem (a) hefur auðkennisþátt, (b) dreifir yfir viðbót og (c) er tengd, færðu hring. Heiltölur með viðbót og margföldun eru hringur; svo eru margliður, fylki og fullt af öðrum hlutum. Ef margföldun er einnig kommutísk færðu kommutativ hring. Ef samskiptahringur hefur einnig þann eiginleika að \ neq 0, b \ neq 0 \ felur í sér ab \ neq 0, þá er það kallað óaðskiljanlegt lén. Eins og þig grunar eru heiltölur lykildæmi um óaðskiljanleg lén, en önnur dæmi eru margliður og Gauss-heiltölur.

Við skulum nú tala um hvað „brot“ er. Brot er par af frumefnum úr heilu léni R, venjulega skrifað sem \ frac {a} {b}, b \ neq 0, ásamt jafngildissambandi \ frac {a} {b} \ equiv \ frac {c} {d} \ iff ad = bc. Formlega, 2/4 \ neq 3/6, en 2/4 \ jafngildir 3/6. Það getur verið mjög handhægt að skilgreina viðbót og margföldun á mengi jafngildisflokka [\ frac {a} {b}] brotanna, með [\ frac {a} {b}] [\ frac {c} {d} ] = [\ frac {ac} {bd}], [\ frac {a} {b}] + [\ frac {c} {d}] = [\ frac {ad + bc} {bd}]. Það er hægt að sýna fram á að uppbyggingin sem myndast (jafngildisflokkar brota, viðbót, margföldun skilgreind þannig) er líka óaðskiljanlegt lén, en einnig að margföldunin hefur nú andhverfu. Þetta fær þér svið af brotum yfir R. (Reitur hefur viðbót, frádrátt, margföldun og deilingu, en er ekki nauðsynlegt skilgreint yfir brotum).

Svo nú höfum við tekist á við „brot“, við skulum fara í „skynsamlega tölu“. Svið skynsamlegra talna, \ mathbb {Q} er svið brota yfir heildarlén heilla talna \ mathbb {Z}. Rök tala er bara þáttur í þessu sviði. Hver er munurinn á broti og skynsamlegri tölu? Einn munur er sá að tæknilega séð er skynsamleg tala jafngildisflokkur brota í stað eins brots. Annar munur er að brotin í þessum jafngildisflokkum eru brot af heiltölum. [\ frac {-7} {- 7}] er skynsamleg tala, ekki brot, en \ frac {2x ^ 2 + \ pi xy -5y ^ 2} {3x ^ 3y + 32y ^ 4i} er brot á heildarlénið C [x, y] (margliður á tvær breytur með flókna stuðla), en ekki skynsamleg tala.

Þegar þú ert að tala ansi mikið um heiltölur, þá er hins vegar ekki mikill hagnýtur munur á „broti“ og „skynsamlegri tölu“, sérstaklega ef þú leyfir jafnrétti brota samkvæmt jafngildissambandi hér að ofan. Þegar þú hefur gert það verða heiltölubrot og skynsamlegar tölur mjög svipaðar. Formfesting skynsamlegra talna sem jafngildisflokka brota er gerð til að ganga úr skugga um að öll táknin séu fyllt út, ekki vegna þess að það sé eitthvað stórt og djúpt. Svo brot af heiltölum og skynsamlegum tölum eru í meginatriðum eins, modulo jafngildissambandið.

Euclid skilgreindi tvær gerðir af hlutföllum, eina fyrir „stærðir af sama tagi“ (lengd, svæði, rúmmál, horn) og eina fyrir tölur (heiltölur). Skilgreining hans á jafnrétti og röð var frábrugðin ofangreindu (hann leyfði almennt margföldun með tölum, ekki almenna margföldun „stærðar“) og leyfði samanburð á hlutföllum á milli mismunandi tegunda (td mætti ​​bera saman hlutfall tveggja lengda við hlutfallið á milli tvö svæði, til dæmis). Sem slíkt virkar stærðarhlutfall eins og (jákvæð) rauntala, en þó að jafnrétti og röð sé skilgreind á hlutföllum, en viðbót og margföldun ekki.

Hlutföll líða mjög eins og brot, en skilgreiningar þeirra eru aðeins mismunandi. Jöfnuður hlutfalla fer eftir því að röðun hlutanna sé í hlutfallinu auk margföldunar með heiltölu, og þú getur haft tvö hlutföll af mismunandi tegundum hluta sem eru jafnir.

Síðast er kvóti. Einn af eiginleikum heiltala er „Euclidean division“ eiginleiki: Að gefnum tveimur heiltölum a, b, má finna tvær einstakar heiltölur q, r með a = qb + r, 0 \ leq r <| b |. Til dæmis, ef a = 34, b = 5 [stærðfræði], þá hefurðu [stærðfræði] 34 = 6 (5) +4 og q = 6, r = 4. Q kallast „stuðullinn“ og r kallast „afgangurinn“. Þessa eiginleika er hægt að alhæfa yfir á aðrar mannvirki líka - til dæmis er það vel þekkt afleiðing að fyrir öll tvö margliður p (x), s (x) geturðu „deilt“ þeim til að fá p (x) = q ( x) s (x) + r (x) [stærðfræði] þar sem stig [stærðfræði] r (x) er minna en stig s (x). Aftur, í þessu tilfelli er q (x) kallaður „stuðullinn“. Það flækist ef þú ert að vinna með reit, en þá er það alltaf þannig að r = 0, a = qb fyrir suma q og þú getur leyst fyrir q = ab ^ {- 1} = \ frac {a} {b}. Sem slíkur líta kvótar fyrir akur mikið út eins og brot.

Allir fjórir hlutirnir snúast um mjög svipuð hugtök og í mörgum algengum tilvikum er átt við mjög svipaða eða eins hluti. Sem slík er hugtakanotkun lauslega notuð, venjulega án ruglings.