hvernig á að finna valdaflokksframsetningu fyrir fall


svara 1:

Ég gef Maclaurin seríur fyrir \ sin (x).

f (x) = \ sin (x) \ tag {1}

Í fyrsta lagi skilgreinum við Maclaurin röð. Hvað er Maclaurin sería? Maclaurin sería er óendanleg röð af summa miðju við 0. Það er í grundvallaratriðum Taylor sería en munurinn er Taylor sería miðju á a og Maclaurin miðstýrður við 0

= \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ dfrac {f ^ {(k)} (0)} {n!} x ^ k

= f (0) + \ dfrac {f '(0)} {1!} x + \ dfrac {f' '(0)} {2!} x ^ 2 + \ dfrac {f ^ {3} (0)} {3!} X ^ 3 + ...

Þar áður metum við \ sin (x) og níðu afleiðu þess við 0.

f (0) = 0

f '(0) = 1

f '' (0) = 0

f ^ {(3)} (0) = - 1

Eins og við getum séð hér skiptist stuðullinn á milli -1, ~ 0 og 1. Skiptu um gildi sem við höfum ...

0 + x + 0- \ dfrac {1} {3!} X ^ 3 + ...

Kannski er þetta ekki skýrt en við getum greint nokkur einkenni þessarar seríu. Ef við lítum á kraft x er það oddatöluröð. Þess vegna er hægt að tjá kraftinn sem x ^ {2n + 1}. Sjáðu síðan nefnara. Það er líka oddatöluröð. \ því (2n + 1) !. Loksins skilti teljara. Þriðja afleiðan segir okkur að teljarinn sé neikvæður, við getum ályktað hér að (-1) ^ n fyrir víxlmerkingarnar.

Lokið öllu þessu, við fáum:

\ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ dfrac {(- 1) ^ n} {(2n + 1)!} x ^ {2n + 1} \ tag {2}

eða

x- \ dfrac {x ^ 3} {3!} + \ dfrac {x ^ 5} {5!} ...